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Tesis de Postgrado de Carolina Domínguez

Domínguez, CarolinaProgramaDoctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática, Universidad de Concepción
Año de Ingreso2008
Año de Egreso2014
Título de la TesisAnálisis de Error A priori y A posteriori de un Método de Elementos Finitos Completamente Mixto para un Problema de Interacción Sólido-Fluido Bidimensional

Resumen de la Tesis:

El objetivo principal de esta tesis es desarrollar un análisis de error a priori y a posteriori de un método de elementos finitos completamente mixto para un problema de interacción sólido-fluido bidimensional. Además de lo anterior, se deduce un estimador de error a posteriori residual, confiable y eficiente, para el problema de elasticidad lineal en el plano con condiciones de frontera de tracción pura. Primero, se desarrolla un análisis de error a priori de un método de elementos finitos completamente mixto para un problema de interacción sólido-fluido bidimensional. El modelo se rige por las ecuaciones de la elastodinámica y la acústica en régimen de tiempo armónico, y las condiciones de transmisión están dadas por el equilibrio de fuerzas y la igualdad de los correspondientes desplazamientos normales. Se introduce una formulación dual mixta en ambos dominios, la cual tiene el esfuerzo y la rotación en el sólido, además del gradiente de presiones en el fluido, como las principales incógnitas. A su vez, ambas condiciones de transmisión son esenciales, las cuales se imponen débilmente por medio de multiplicadores de Lagrange. Luego, se muestra una descomposición apropiada del espacio al cual pertenecen el esfuerzo y el gradiente de presiones, y posteriormente se aplica la teoría de Babuska-Brezzi y la alternativa de Fredholm, para realizar el análisis de la formulación continua. Posteriormente, las incógnitas se aproximan por un esquema de Galerkin conforme definido en términos de los elementos de Raviart-Thomas de bajo orden en ambos dominios, y las funciones lineales a trozos continuas sobre las fronteras. Entonces, el análisis discreto se basa en una descomposición estable de los espacios de elementos finitos correspondientes y en un resultado clásico de métodos de proyección para operadores de Fredholm de índice cero. Por otro lado, a modo de análisis preliminar y también como un subproducto de esta tesis, se considera un problema de elasticidad lineal bidimensional con condiciones de frontera de Neumann no homogéneas, y se deduce un estimador de error a posteriori residual, confiable y eficiente para su formulación variacional dual mixta, en términos del esfuerzo, el desplazamiento y la rotación. La demostración de la confiabilidad hace uso de un problema auxiliar apropiado, la condición inf-sup continua y las propiedades de aproximación local de los operadores de interpolación de Clément y Raviart-Thomas. A su vez, las desigualdades de traza discreta e inversa, y la técnica de localización basada en funciones burbuja sobre triángulos y lados, son las principales herramientas para probar la eficiencia del estimador. Finalmente, se deduce un estimador de error a posteriori, basado en términos residuales, confiable y eficiente, para el problema de interacción estudiado en la primera parte. Las principales herramientas para probar la confiabilidad involucran una condición inf-sup global, las descomposiciones de Helmholtz continua y discreta en cada dominio, y las propiedades de aproximación local de los operadores de interpolación de Clément y Raviart-Thomas. Luego, se aplican las mismas técnicas mencionadas anteriormente para obtener la eficiencia. Finalmente, varios resultados numéricos confirman la confiabilidad y eficiencia del estimador, e ilustran el comportamiento del esquema adaptivo asociado.

Director(es) de Tesis Gabriel N. Gatica, Salim Meddahi
Fecha de Aprobación Proyecto de Tesis2010, Agosto 31
Fecha de Defensa de Tesis2014, Marzo 27
Seguimiento ProfesionalProfesor Instructor, Universidad Austral, Sede Puerto Montt.
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Publicaciones Originadas de la Tesis (ISI)

Carolina DOMINGUEZ, Gabriel N. GATICA, Antonio MARQUEZ: A residual-based a posteriori error estimator for the plane linear elasticity problem with pure traction boundary conditions. Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 292, pp. 486-504, (2016).

Carolina DOMINGUEZ, Gabriel N. GATICA, Salim MEDDAHI: A posteriori error analysis of a fully-mixed finite element method for a two-dimensional fluid-solid interaction problem. Journal of Computational Mathematics, vol. 33, 6, pp. 606-641, (2015).

Carolina DOMINGUEZ, Gabriel N. GATICA, Salim MEDDAHI, Ricardo OYARZUA: A priori error analysis of a fully-mixed finite element method for a two-dimensional fluid-solid interaction problem. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 47, 2, pp. 471-506, (2013).

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